開集合 | 閉集合
全體集合を$ Xとして、部分集合の內の以下の規則で生成されるものを開集合と呼ぶ。開集合全ての集合を$ \cal Oと書く 全體集合$ X
無限個の結び$ \bigcup_{A\in\mathcal O}A
有限個の交はり$ A\cap B
開集合の補集合$ X\setminus O_{\in{\cal O}}を閉集合と呼ぶ 全體集合を$ Xとして、部分集合の內の以下の規則で生成されるものを閉集合と呼ぶ。閉集合全ての集合を$ \cal Cと書く 全體集合$ X
無限個の交はり$ \bigcap_{A\in\mathcal C}A
有限個の結び$ A\cup B
閉集合の補集合$ X\setminus C_{\in{\cal C}}を開集合と呼ぶ 近傍系 (neighbourhood system)
全體集合を$ Xとして、
近傍系
$ \forall N_{\in{\cal N}(x)}(x\in N(x))
$ \forall N_{\in{\cal N}(x)}\exist W_{\in{\cal N}(x)}\forall y_{\in W}(N\in{\cal N}(y))冪等性
$ \mathcal N(x):=\{A|A\sub X,x\in X\setminus{\rm cl}(X\setminus A)\}
收束$ F\xrightarrow{\lim}x\iff \mathcal V(x)\sub F
$ {\rm cl}(A)=X\setminus\{x|x\in X,X\setminus A\in\mathcal N(x)\}
有向點族 (net)
量化
$ \forall xP(x)\land\forall xQ(x)\equiv\forall x(P(x)\land Q(x))
$ \forall x_{\in A}P(x)\land\forall x_{\in B}P(x)\equiv\forall x_{\in A\cup B}P(x)
但し$ \forall x_{\in A}P(x)\coloneqq\forall x(x\in X\supset P(x))
無限連言$ \forall x_{\in X}P(x)\coloneqq\bigwedge_{x\in X}P(x)
$ \forall xP(x)\lor\forall xQ(x)\supset\forall x(P(x)\lor Q(x))
$ \forall x_{\in A}P(x)\lor\forall x_{\in B}P(x)\supset\forall x_{\in A\cap B}P(x)
$ \exist xP(x)\lor\exist xQ(x)\equiv\exist x(P(x)\lor Q(x))
$ \exist x_{\in A}P(x)\lor\forall x_{\in B}P(x)\equiv\exist x_{\in A\cap B}P(x)
無限選言$ \exist x_{\in X}P(x)\coloneqq\bigvee_{x\in X}P(x)
$ \exist xP(x)\land\exist xQ(x)\supset\exist x(P(x)\land Q(x))
$ \exist x_{\in A}P(x)\land\forall x_{\in B}P(x)\supset\exist x_{\in A\cup B}P(x)